|
POLİNOMLAR
A.
POLİNOMLAR
 olmak
üzere,
P(x) = a0
+ a1 × x +
a2 × x2
+ ... + an ×
xn
biçimindeki
ifadelere x değişkenine göre, düzenlenmiş reel kat sayılı
polinom
(çok terimli) denir.
Burada,
a0, a1, a2, ... an
reel sayılarına polinomun kat sayıları,
a0, a1 × x , a2 × x2 , ... , an
× xn ifadelerine
polinomun terimleri denir.
an
× xn terimindeki
an sayısına terimin kat sayısı, x in kuvveti
olan
n
sayısına terimin derecesi denir.
Derecesi
en büyük olan terimin derecesine polinomun derecesi denir ve
der[P(x)]
ile gösterilir. Derecesi en büyük olan terimin kat sayısına
ise polinomun baş kat
sayısı denir.
Polinomlar
kat sayılarına göre adlandırılırlar. Kat sayıları reel sayı
olan polinomlara reel kat sayılı polinom, kat sayıları
rasyonel sayı olan polinomlara rasyonel kat sayılı polinom,
kat sayıları tam sayı olan polinomlara tam kat sayılı polinom
denir.
Tanım
|
 olmak
üzere, P(x) = c biçimindeki polinomlara, sabit polinom
denir. Sabit polinomun
derecesi 0 (sıfır) dır. |
Tanım
|
P(x) = 0 biçimindeki polinoma, sıfır polinomu
denir. Sıfır polinomunun
derecesi tanımsızdır. |
Polinomların Eşitliği
Aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan
polinomlar eşittir.
B. POLİNOMLARDA
İŞLEMLER
1. Toplama İşlemi
İki polinom toplanırken; dereceleri aynı olan
terimlerin kat sayıları kendi aralarında toplanır, sonuç o
terimin kat sayısı olarak yazılır.
2. Çıkarma İşlemi
P(x) – Q(x) = P(x)
+ [–Q(x)]
olduğu
için, P(x) polinomundan Q(x) polinomunu çıkarmak, P(x)
ile
–Q(x) i toplamaktır. Bunun için çıkarma işlemini,
çıkarılacak polinomun işaretini değiştirip toplama yapmak
biçiminde ele alabiliriz.
3. Çarpma İşlemi
İki polinomun çarpımı; polinomlardan birinin her
teriminin diğer polinomun her bir terimi ile ayrı ayrı
çarpımlarından elde edilen terimler toplamınarak yapılır.
4. Bölme İşleminin Yapılışı
Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme
işlemine benzer şekilde yapılır. Bunun için sırasıyla
aşağıdaki işlemler yapılır:
1) Bölünen ve bölen
polinomlar x değişkeninin azalan kuvvetlerine göre
sıralanır.
2) Bölünen
polinomun soldan ilk terimi, bölen polinomun soldan ilk
terimine bölünür. Çıkan sonuç, bölümün ilk terimi olarak
yazılır.
3) Bulunan bu
bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı
dereceli terimler alt alta gelecek şekilde bölünen polinomun
altına yazılır.
4) Bölünenin altına
yazılan çarpım polinomu, bölünen polinomdan çıkarılır.
5) Yukarıdaki
işlemlere, kalan polinomun derecesi, bölen polinomun
derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.
Tanım
|
m >
n olmak üzere,
der[P(x)]
= m ve der[Q(x)] = n olsun.
P(x)
in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm polinomu B(x)
olsun.
Buna
göre,
 der[P(x)
+ Q(x)] = m,
der[P(x)
– Q(x)] = m,
der[P(x)
× Q(x)] = m + n,
der[B(x)] = m – n,
der[[P(x)]k] = k × der[P(x)] = k × m,
der[[P(xk)]] = k × der[P(x)] = k × m
dir. |
C. P(x) İN x = k
İÇİN DEĞERİ
P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an
× xn
polinomunun
x = k için değeri,
P(k)
= a0 + a1 × k + a2 × k2 + … +an
× kn dir.
Kural
|
P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … +
an ×
xn
polinomunda
x = 1 yazılırsa,
P(1) = a0 + a1 + a2 +
... + an olur.
Bu durumda
P(1) in değeri P(x)
polinomunun kat sayıları toplamıdır. |
Sonuç
|
Herhangi bir polinomda x yerine 1
yazılırsa, o polinomun kat sayıları toplamı
bulunur.
Örneğin,
P(x + 7) polinomunun kat sayıları toplamı,
P(1 + 7) = P(8) dir. |
Kural
|
P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … +
an ×
xn
polinomunda
x = 0 yazılırsa,
P(0) = a0 olur.
Bu durumda
P(0) ın değeri P(x)
polinomunun sabit terimidir. |
Sonuç
|
Herhangi bir polinomda x yerine 0
yazılırsa, o polinomun sabit (x ten bağımsız) terimi
bulunur.
Örneğin,
P(2x + 3) polinomunun sabit terimi,
P(0 + 3) = P(3) tür. |
D. P(x) İN (ax + b)
İLE BÖLÜNMESİYLE ELDE EDİLEN KALAN
P(x) in ax + b ile bölünmesiyle elde edilen bölüm
B(x), kalan K olsun. Buna göre,
Yani;
P(x) polinomunun ax + b ile
bölünmesiyle elde edilen kalanı bulmak için, ax + b = 0
denkleminin kökü olan
 için P(x)
polinomunun değeri olan
hesaplanır.
Sonuç
|
P(x)
polinomunun x – a ile bölümünden kalan P(a) dır.
P(x + b)
polinomunun x – a ile bölümünden kalan
P(a + b) dir.
P(3x +
b) polinomunun x – a ile bölümünden
kalan
P(3
× a + b)
dir. |
E. P(x) İN
xn + a İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN
Kural
|
Derecesi
n den büyük olan bir polinomun
xn + a ile bölümünden kalanı
bulmak için, xn yerine –a
yazılır.
(xn
+ a = 0 ise, xn =
–a) |
F. P(x) İN (x –
a) × (x – b) ÇARPIMI İLE
BÖLÜNMESİ
Kural
|
1) P(x)
polinomu (x – a) × (x – b) çarpımı ile tam olarak
bölünebiliyorsa x – a ve x – b çarpanları ile de ayrı
ayrı tam olarak bölünür.
2) x – a ve x
– b aralarında asal polinomlar olmak üzere;
P(x), bu
polinomlara ayrı ayrı tam olarak bölünebiliyorsa, (x –
a) × (x – b) çarpımı ile de tam olarak
bölünür. |
G. P(x) İN (a × x + b)2 İLE
BÖLÜNEBİLMESİ
P(x) polinomu (ax + b)2 ile tam
bölünebiliyorsa,
P(x)
polinomu ve P'(x) polinomu ax + b ye tam olarak
bölünür.
(P'(x), P(x) in türevidir.)
Buna göre, P(x) polinomu (ax + b)2
ile tam bölünebiliyorsa,
 |
LYS Matematik 
Her hangi açılacak bir davada IP adresi ve diğer bilgiler paylaşılacaktır.