| LİMİT ve SÜREKLİLİK I. LİMİT A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve  biçiminde gösterilir. x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve  biçiminde gösterilir. B. LİMİT KAVRAMI Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:  Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1, y4) , B(x2, y3) , C(x3, y2) , D(x4, y1), ... noktalarını göz önüne alalım: Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4, ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatları f(x1) = y4, f(x2) = y3, f(x3) = y2, f(x4) = y1, ... giderek b ye yaklaşır. Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda, f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve  şeklinde gösterilir. Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan E(x8, y5) , F(x7, y6) , G(x6, y7) , H(x5, y8) , ... noktalarını göz önüne alalım. Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 , x6 , x5 , ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7) = y6 , f(x6) = y7 , f(x5) = y8 , ... giderek d ye yaklaşır. Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.” şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve  biçiminde gösterilir. Kural | f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise,  biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir. f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur. | C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT  f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir. Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,  Kural D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER Özellik | f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun.   | Özellik Özellik Özellik Özellik Özellik E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ Özellik F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ Özellik | f(x) = sgn [g(x)] olsun.  Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır. Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir. | G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ Özellik |  Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır. Söz gelimi,  fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır.  | H.  NİN x = a DAKİ LİMİTİ Özellik I. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ 1. sinx in ve cosx in limiti sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,  olur. 2. tanx in limiti tanx fonksiyonu  olmak üzere,  koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,  olur. Sonuç 3. cotx in limiti cotx fonksiyonu  olmak üzere,  koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,  olur. Sonuç J. BELİRSİZLİK DURUMLARI  belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir. Kural Kural | m, n Î N olmak üzere,  olur. | Kural | a > 0 olmak üzere, ¥ – ¥ belirsizliği olan limitler,  kuralını kullanarak hesaplanabilir. | Kural |  Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği  veya  belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir. | Kural II. SÜREKLİLİK Kural |  f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir. | Sonuç | y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise,  | Uyarı | f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir. | Kural | 1. Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir. 2. Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir. 3. Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir. | |
LYS Matematik 
Her hangi açılacak bir davada IP adresi ve diğer bilgiler paylaşılacaktır.