|
İŞLEM
A. TANIM
Herhangi
bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli
işlem denir.
A
Ì B olmak üzere, A ´ A kümesinden B kümesine tanımlanan her
fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem
denir.
|
İşlemler;
 gibi
simgelerle gösterilir. |
B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİ
A
kümesinde p ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna
göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.
1. Kapalılık Özeliği
" (Her) a, b Î A
için a p b nin sonucu A
kümesinin bir elemanı ise, A kümesi p işlemine göre kapalıdır.
2. Değişme Özeliği
" (Her) a, b Î A
için, a p b = b p a ise, p işleminin değişme özeliği
vardır.
3. Birleşme Özeliği
" (Her) a, b, c Î
A için a p (b p c) = (a p b) p c ise, p işleminin birleşme özeliği
vardır.
4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği
" (Her) x Î A
için, x p e = e p x = x ise, e ye p işleminin etkisiz elemanı
denir.
e
Î A ise, p işlemine göre A kümesi birim
eleman özeliğine sahiptir.
5. Ters Eleman Özeliği
p işleminin etkisiz elemanı e
olsun.
a
Î A için, a p b = b p a = e olacak biçimde bir b varsa b
elemanına p işlemine göre a
nın tersi denir.
a
nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde
gösterilir.
A
kümesinin bütün elemanlarının p işlemine göre, tersleri A nın
elemanı ise, p işlemine göre A
kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.
|
• Birim elemanın tersi kendisine
eşittir.
• Tersi kendisine eşit olan her
eleman birim eleman olmayabilir. |
6. Dağılma Özeliği
" a, b, c Î A
için,
a « (b p c) = (a « b) p
(a « c) ise,
« işleminin p işlemi üzerine soldan
dağılma özeliği vardır.
(a p b) « c = (a «
c) p (b « c) ise,
« işleminin p işlemi üzerine sağdan dağılma
özeliği vardır.
|
« işleminin p işlemi üzerine; hem soldan,
hem de sağdan dağılma özelliği varsa « işleminin p işlemi üzerine dağılma
özelliği vardır. |
7. Yutan Eleman Özeliği
" x Î A için, x
p y = y p x = y olacak biçimde bir y varsa y
ye p işleminin yutan elemanı
denir.
y
Î A ise, p işlemine göre A kümesi yutan
eleman özeliğine sahiptir.
|
Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi
olmayan her eleman yutan eleman
değildir. |
C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A
= {a, b, c, d} kümesinde
 işlemi yukarıdaki
tablo ile tanımlanmış olsun.
|
Ü |
b
c nin sonucu
bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c
bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b
c nin
sonucudur. Buna göre, b
c = a
dır. |
|
Ü |
Başlangıç
satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların
sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan
eleman yoksa A kümesi
işlemine göre
kapalıdır. |
|
Ü |
Sonuçlar
kısmı, köşegene göre simetrik ise,
işleminin
değişme özeliği vardır. |
|
Ü |
Tablonun
sonuçlar kısmında, başlangıç sütununun ve başlangıç
satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki
eleman etkisiz elemandır. Yukarıda tablo ile
tanımlanan
işleminin
etkisiz elemanı d dir. |
|
Ü |
Yutan
eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç
kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar
kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun
belirlenir. Bulunan yutan
elemandır. |
|
 |
Yandaki
tablo, A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlanan
işlemine göre düzenlenmiştir.
Buna
göre,
işleminin yutan elemanı 1 dir.
işleminin birim (etkisiz) elemanı 2 dir.
| |
D. MATEMATİK SİSTEMLER
1. Tanım
A,
boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun.
(A,
«) ikilisine matematik sistem
denir.
2. Grup
A
¹
Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu
sağlıyorsa, A kümesi « işlemine
göre bir gruptur.
-
A, «
işlemine göre kapalıdır.
-
A üzerinde « işleminin birleşme özelliği
vardır.
-
A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı
vardır.
-
A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi
vardır.
|
A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özelliği de
varsa (A, «) sistemi
değişmeli gruptur. |
3. Halka
A
¹
Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve «
işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, «) sistemi
bir halkadır.
-
(A, D)
sistemi değişmeli gruptur.
-
A kümesi « işlemine göre kapalıdır.
-
«
işleminin D işlemi üzerinde dağılma
özelliği vardır.
|
Ü |
« işleminin değişme özelliği de
varsa (A, D, «) sistemi değişmeli
halkadır. |
|
Ü |
« işleminin A kümesinde birim
(etkisiz) elemanı da varsa (A, D, «)
sistemine birim halka
denir. | |
Yorumlar