KÖKLÜ İFADELER

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

xⁿ = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n yinci dereceden kökü denir.

B. KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELİKLERİ

 1) n tek ise, daima reeldir.

 2) n çift ve a < 0 ise, reel sayı belirtmez.

 3) a ³ 0 ise, daima reeldir.

 4) a ³ 0 ise,

 5) n tek ise,

 6) n çift ise,

7)

8)  n çift ve b ile c aynı işaretli olmak üzere,

 9)  n tek ise,

10) a, pozitif reel (gerçel) sayı olmak üzere,
 

11) k pozitif tam sayı ve a pozitif gerçel sayı olmak üzere;
 

12) (a ¹ 0 ve b ¹ 0)  ise 
 

C. KÖKLÜ İFADELERDE YAPILAN İŞLEMLER

Kök dereceleri birbirine eşit ve kök içindeki sayılar da birbirine eşit olan ifadelerin kat sayıları toplanır ya da çıkarılır. Bulunan sonuç köklü ifadenin kat sayısı olur.

2. Çarpma İşlemi

n ve m, 1 den büyük tek sayı ya da a ve b negatif olmamak üzere,

3. Bölme İşlemi

Uygun koşullarda,

4. Paydayı Kökten Kurtarma

Uygun koşullarda,

D. İÇ İÇE KÖKLER

F. KÖKLÜ İFADELERDE SIRALAMA

Kök dereceleri eşit olan (ya da eşitlenen) pozitif sayılarda, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır.

Çarpanlara Ayırma Konusunun videolu anlatımı için tıklayınız

ÇARPANLARA AYIRMA

B. ÖZDEŞLİKLER

1) a² – b² = (a – b)(a + b)

2) a² + b² = (a + b)² – 2ab

3) a² + b² = (a – b)² + 2ab

2. İki Küp Farkı - Toplamı

1) a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b² )

2) a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b² )

3) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

4) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

3. n. Dereceden Farkı - Toplamı

1) n bir sayma sayısı olmak üzere,

xⁿ – yⁿ = (x – y)(x^{n – 1} + x^{n – 2}y + x^{n – 3} y² + ... + xy^{n – 2} + y^{n – 1}) dir.

2) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,

xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^{n – 1} – x^{n – 2}y + x^{n – 3} y² – ... – xy^{n – 2} + y^{n – 1}) dir.

4. Tam Kare İfadeler

1) (a + b)² = a² + 2ab + b²

2) (a – b)² = a² – 2ab + b²

3) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)

4) (a + b – c)² = a² + b² + c² + 2(ab – ac – bc)

5. (a ± b)ⁿ nin Açılımı

(a + b)ⁿ açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.

Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.

(a – b)ⁿ yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.

C. ax² + bx + c  BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI

ax² + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken birkaç yöntem kullanılır. Biz burada ikisini vereceğiz. En iyi öğrendiğiniz yöntemi daima kullanarak pratiklik sağlayınız.

1. YÖNTEM

b = m + n ve c = m × n olmak üzere,

2. a ¹ 1 İken

m × n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise

ax² + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir.

2. YÖNTEM

Çarpımı a × c yi,

toplamı b yi veren iki sayı bulunur.

Bulunan sayılar p ve r olsun.

Bu durumda,

daki ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.

ORAN - ORANTI

a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere, ye a nın b ye oranı denir.

B. ORANTI

En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani oranı ile nin eşitliği olan ye orantı denir.

C. ORANTININ ÖZELİKLERİ

3) m ile n den en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,

ise, (k ya orantı sabiti denir.)

• 

• 

• 

• 

• 

• 

D. ORANTI ÇEŞİTLERİ

Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.

x ile y çoklukları doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k × x ifadesine doğru orantının denklemi denir. Bu denklemin grafiği diğer sayfada verilmiştir.

x ile y çokluklarının doğru orantılı olduğu grafik aşağıdaki gibidir.
(x > 0 ve y > 0)

2. Ters Orantılı Çokluklar

Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.

x ile y çoklukları ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı sabiti olmak üzere, ifadesine ters orantının denklemi denir.

x ile y çokluklarının ters orantılı olduğu grafik aşağıdaki gibidir.
(x > 0, y > 0 ve k > 0)

E. ARİTMETİK ORTALAMA

n tane sayının aritmetik ortalaması bu n sayının toplamının n ye bölümüdür.

Buna göre, x₁, x₂, x₃, ... , x_n sayılarının aritmetik ortalaması, dir.

•   a ile b nin aritmetik ortalaması

•   a, b, c biçimindeki üç sayının aritmetik ortalaması,

•   n tane sayının aritmetik ortalaması x olsun.
Bu n tane sayının herbiri; A ile çarpılır, B ilave edilirse oluşan yeni sayıların aritmetik ortalaması Ax + B olur.

F. GEOMETRİK ORTALAMA

n tane sayının geometrik ortalaması bu sayıların çarpımının n. dereceden köküdür.r.

Buna göre,

x₁, x₂, x, ... , x_n sayılarının geometrik ortalaması dir.

 •  a ile b nin geometrik ortalaması (orta orantılısı) dir.

 •  a, b, c biçimindeki üç sayının geometrik ortalaması, dir.

 •  a ile b nin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit ise
a = b dir.

G. HARMONİK (AHENKLİ) ORTA

x₁, x₂, x₃, ... , x_n sayılarının harmonik ortalaması

• a ile b nin harmonik ortalaması

• a, b, c gibi üç sayının harmonik ortalaması

•  İki pozitif sayının aritmetik ortalaması A, geometrik ortalaması G ve harmonik ortalaması H ise,

i) G² = A × H dır.

ii) H £ G £ A dır.

H. DÖRDÜNCÜ ORANTILI

orantısını sağlayan x sayısına a, b, c sayıları ile dördüncü orantılı olan sayı denir.

DENKLEM ÇÖZME

a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

B. EŞİTLİĞİN ÖZELİKLERİ

Denklem çözümünde aşağıdaki özeliklerden yararlanırız.

1. Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı ilave edilirse eşitlik bozulmaz.

a = b ise, a + c = b + c dir.

2. Bir eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitlik bozulmaz.

a = b ise, a – c = b – c dir.

3. Bir eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılırsa eşitlik bozulmaz.

a = b ise, a × c = b × c dir.

4. Bir eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayı ile bölünürse eşitlik bozulmaz.

   

5. Bir eşitliğin her iki tarafının n. kuvveti alınırsa eşitlik bozulmaz.

a = b ise, aⁿ = bⁿ dir.

6. 

7. (a = b ve b = c) ise, a = c dir.

8. (a = b ve c = d) ise, a ± c = b ± d dir.

9. (a = b ve c = d) ise, a × c = b × d dir.

10. 

11. a × b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) dır.

12. a × b ¹ 0 ise, (a ¹ 0 ve b ¹ 0) dır.

13. 

C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ

1. a ¹ 0 olmak üzere,

   

2. (a = 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemini bütün sayılar sağlar. Buna göre, reel (gerçel) sayılarda çözüm kümesi dir.

3. (a = 0 ve b ¹ 0) ise, ax + b = 0 denklemini sağlayan hiçbir sayı yoktur. Yani, Ç = Æ dir.

D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ

a, b, c Î , a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,

ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denklemin çözüm kümesidir.

Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.

Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.

Çözüm Kümesinin Bulunması

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, karşılaştırma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.

Biz burada üçünü vereceğiz.

a. Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.

b. Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir.

c. Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin ikisinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).

denklem sistemini göz önüne alalım:

Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.

ax + by + c = 0

dx + ey + f = 0

denklem sisteminde,

ise, bu iki doğru tek bir noktada kesişir.

Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan oluşur.

İkinci durum:

ise, bu iki doğru çakışıktır.

Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.

Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.

Üçüncü durum:

ise, bu iki doğru paraleldir.

Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.

Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.